自动求解复杂电路——用“关联矩阵”列写基尔霍夫定律的“支路电流法”

当电路非常复杂时，如元件数量特别多，或网络结构特别复杂时，我们希望能“用编程的方式”，自动求解各节点处的电势与各支路的电流。

本文设计了一个最简案例，一个仅含电阻的小型网络——

一个仅含电阻的最简电路：3 条支路、2 个独立节点

电路说明：

1. 圆圈点表示电势参考点，其电势为 0；
2. 电路的输入和输出电流相等，为 $I_0$；
3. 电路含有 3 个分支（branch），即 b1、b2、b3；
4. 和 2 个独立节点（node），即 n1 和 n2。

1. 原理：基尔霍夫定律 + 欧姆定律

1.1 基尔霍夫电流定律

又称“基尔霍夫第一定律”——

对于某一节点，进入电流之和 = 离开电流之和

换言之，节点只负责传输电流，而无法让电流凭空产生或消失。

分别对于 n1 和 n2 两个节点，如果我们定义“流入为负，流出为正”——

$$\left\{ \begin{array}{l} -1\cdot I_{\mathrm{b}1}+1\cdot I_{\mathrm{b}2}+1\cdot I_{\mathrm{b}3}=0\\ 0\cdot I_{\mathrm{b}1}-1\cdot I_{\mathrm{b}2}-1\cdot I_{\mathrm{b}3}=I_0 \end{array} \right.$$

为什么要写出 0 和 1 呢，因为，咱们要变成矩阵形式——

$$\left(\begin{matrix} -1 & 1 & 1\\ 0 & -1 & -1 \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} I_{\mathrm{b}1}\\ I_{\mathrm{b}2}\\ I_{\mathrm{b}3} \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 0\\ I_0 \end{matrix}\right)$$

即

$$\boldsymbol{A}\boldsymbol{I}_{\mathrm{b}}=\boldsymbol{I}_{\mathrm{f}}$$

其中，$\boldsymbol{A}$ 就被称为“关联矩阵”，每行对应节点，每列对应支路。$\boldsymbol{I}_{\mathrm{b}}$ 表示各支路的电流，$\boldsymbol{I}_{\mathrm{f}}$ 表示整体电路的输入输出电流。

1.2 基尔霍夫电压定律

又称“基尔霍夫第二定律”——

闭合回路所有器件两端的电势差（电压）的代数和等于零

这里间接使用这一定律，即，“不闭合的回路 两端点的电势差 = 其间元件的电压”。

前面我们讲了“关联矩阵”$\boldsymbol{A}$ 中，每行对应节点，每列对应支路。如果我们把 $\boldsymbol{A}$ 转置，让每一列（支路）形成一个电压方程，则为

$$\left(\begin{matrix} -1 & 0\\ 1 & -1\\ 1 & -1 \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} U_{\mathrm{n}1}\\ U_{\mathrm{n}2} \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} U_{\mathrm{b}1}\\ U_{\mathrm{b}2}\\ U_{\mathrm{b}3} \end{matrix}\right)$$

即

$$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{U}_{\mathrm{n}}=\boldsymbol{U}_{\mathrm{b}}$$

其中，$\boldsymbol{U}_{\mathrm{n}}$ 表示每个节点的电势，$\boldsymbol{U}_{\mathrm{b}}$ 表示每个支路的电压压降。

1.3 欧姆定律

电压 = 电阻 × 电流 电流 = 电导 × 电压

这里我们要使用电导的形式。电导 $S$（electrical conductance）等于电阻的倒数。

咱们直接写出矩阵形式吧——

$$\boldsymbol{I}_{\mathrm{b}}=\boldsymbol{S}\cdot \boldsymbol{U}_{\mathrm{b}}$$

其中

$$\boldsymbol{S}=\left(\begin{matrix} S_1 & 0 & 0\\ 0 & S_2 & 0\\ 0 & 0 & S_3 \end{matrix}\right)$$

1.4 联立化简

至此，我们列出了三个方程——

$$\begin{cases} \boldsymbol{A}\boldsymbol{I}_{\mathrm{b}}=\boldsymbol{I}_{\mathrm{f}}\\ \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{U}_{\mathrm{n}}=\boldsymbol{U}_{\mathrm{b}}\\ \boldsymbol{I}_{\mathrm{b}}=\boldsymbol{S}\cdot \boldsymbol{U}_{\mathrm{b}} \end{cases}$$

联立，简化，得到

$$\boldsymbol{A}\boldsymbol{S}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{U}_{\mathrm{n}}=\boldsymbol{I}_{\mathrm{f}}$$

这个方程，就是一个线性方程，咱们可以直接求解呀。

2. 求解

我用 MATLAB 写了一段极简代码，就实现了上述方程的求解，其中 S 和 If 可以随意设置——

A = [-1 1 1;
    0 -1 -1];
S = diag([1 1 1]);
If = [0 1]';
Un = (A*S*A')\If
Ib = S*(A'*Un)

求解输出为：

Un =
    1.0000
    1.5000
Ib =
   -1.0000
   -0.5000
   -0.5000

这样，就自动地得到了所有节点的电压与所有支路的电流。

最美妙的是，只要修改一下参数矩阵，就可以求解非常复杂的电路网络了。

本文 2022-09-26 原发表于知乎。