学习知识的层次是：接触 → 理解 → 内化 → 应用 → 掌握。 人与人之间的区别主要产生在——“内化”环节。

连续与无穷

微积分 = 微分 + 积分

微分：把研究的对象分解成非常非常微小的单元去研究（注意，每个微小单元要具备全局性质，“全息”）。 积分：把刚才研究完的非常微小的单元，再积累在一起得到结果。 类似于”分析”与”综合”的关系。

英文 Calculus：“计算方法”

和我们常说的计算器 calculator 非常像，它的原意就是”计算方法”。 最初，完整的微积分英文要这么说：differential and integral calculus（“微分和积分的计算方法”）；也可以说 infinitesimal calculus（“研究无穷小量的计算方法”）。

连续性：自然规律之大道

“连续”是研究微积分的重要前提。在经典物理世界中，一切都是连续的。 这里我们假装不知道”量子世界”，只研究”连续函数”（Continuous function）——无论怎么放大，仍然是一段连续的线。 连续函数一般表示为：f(x)∈Cf(x) \in C。

无穷：是一个动态的概念

“无穷”是微积分的核心概念。

“一尺之棰，日取其半，万世不竭。” —— 《庄子 · 天下》

右边的式子”无限趋近”于 1，这是一个”动态过程”。 无穷小，是一个”变量”，是一个无限趋近于 0 的一个”过程”。 所谓”高阶无穷小”，无非就是它”趋近于 0 的’速度’更快”（此处有深意，与后面的洛必达法则有联系）。

“无穷视角”看问题

例 1：在一个无穷小的范围里，所有曲线都是直线。 例 2：割圆术。

“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。” —— 刘徽《九章算术注》(263 年)

极限

极限是无限逼近的过程

这个过程的”终点”永远达不到，但是无比趋近的那个值，就是”极限值”。 比如 lim⁡x→x0f(x)\lim_{x \to x_0} f(x) 表示变量 xx 向 x0x_0 点无限逼近，f(x)f(x) 无限趋近的那个值，就是极限值。 上文讲的无穷小本身是一个”过程”，这个过程的极限，就是 0。

极限是一种线性运算

∞/A=∞\infty / A = \infty

“吾生也有涯，而知也无涯。以有涯随无涯，殆已！” —— 《庄子 · 养生主》

知识是无穷的，而生命却只有那么几天，想要学完所有知识，每天必须也学无穷多的知识。

未定式极限的计算

指两种情况：0/00/0 和 ∞/∞\infty/\infty。 上文说，极限是一个过程，那么极限之间的比较，其实是在比较谁的速度快，这就是”洛必达法则”（求导后再比）；或使用因式分解 / 化简；或替换变量、使用等价无穷小。

使用 MATLAB 计算极限

limit(fun,x,x0)             % 求函数 fun 关于 x 在 x0 点处的极限
limit(fun,x,x0,'left')      % 求左极限
limit(fun,x,x0,'right')     % 求右极限

如果不是趋近于 x0x_0，而是趋近于无穷，就使用 inf 代表无穷，代替 x0。如果极限不存在，MATLAB 会吐出一个 NaN。

syms x a b;                 % 把 x a b 都定义为符号
f = x*(1+a/x)^x*sin(b/x);   % 输入函数
L = limit(f,x,inf)          % 求极限

导数与微分

导数之”导”——導

组个词看一看：导致、引导、导向。

“善战者，因其势而利导之。” —— 《史记 · 孙子吴起列传》

“导”就是”方向”，导数就是表示函数”运行的方向”。

导数是”函数的原因”

“导数”是函数的原因（变化的来源），函数是”导数”的结果。 速度是位移的导数，速度导致了位移；加速度是速度的导数，加速度导致了速度。 用【导数思维】来分析问题，可以找到事物变化的原因，控制事物的发展。

“物有本末，事有终始，知所先后，则近道矣。” —— 《大学》

理解乘法导数求导法则

(uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv'

把 uu、vv 看成一个矩形的边长，则 (uv)′(uv)' 就是指边长 uu 和 vv 同时变化所引起的面积变化量。矩形面积变化量还有角落里的一小块，但太小了，小到直接舍去。

导数的 MATLAB 求解

y = diff(fun,x)     % 求函数 fun 关于 x 的导数
y = diff(fun,x,n)   % 求函数 fun 关于 x 的 n 阶导数

微分：同样也是动态概念

微分就是差分的【无穷小过程】，自变量 xx 的微分为：

dx=Δx∣Δx→0dx = \Delta x \Big|_{\Delta x \to 0}

这时，因变量 yy 的微分为：

dy=f′(x)⋅dxdy = f'(x) \cdot dx

可以说，dydy 是 Δy\Delta y 的”线性主部”。 不要觉得这里面有一个”误差”，这是”静态视角”下看到的；而微分是一个动态的无穷小过程，是完全没有误差的。

泰勒展开：多项式仿真系统

泰勒展开公式初探

f(x)=∑n=0∞f(n)(x0)n!(x−x0)nf(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n

观察后有几个特点：

  • 一个函数，无论它是什么”壳”，都可以分解为”多项式之和”的形式；
  • 分解时，可以选择一个基础点 x0x_0；
  • 项越多，就越接近原函数，无穷多项时取等号；
  • 越靠前，越主要，每一项的作用要被 n!n! 削弱。

比如正弦函数在 0 处分解：

sin⁡(x)=x−x33!+x55!−x77!+⋯\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots

（偶数项的导数均为 0，因此不在公式中。）

用 MATLAB 画一下：

x = -6:0.01:6;
y3 = x - x.^3/factorial(3);
y5 = y3 + x.^5/factorial(5);
y7 = y5 - x.^7/factorial(7);
plot(x, sin(x), x, y3, x, y5, x, y7)
ylim([-1.5 1.5])

只要项数 nn 有限，就一定有误差。

泰勒展开的哲学理解

先只展开前 2 项，解释为：xx 处的函数值，约等于 x0x_0 处的函数值，再加上由导数引起的变化量。这是对未来情况的仿真。

几何表达：由于原因（导数）只是”当前”的原因，所以仿真预测的结果肯定不完全准确；不过，只要时间足够短，仿真就足够准确。

二阶导数呢？就是原因的原因，即”间接原因”：

结果≈现状+直接原因引发的变化+原因的原因引发的变化+⋯结果 ≈ 现状 + 直接原因引发的变化 + 原因的原因引发的变化 + \cdots

考虑得越多，就越准确、越长远。

“夫未战而庙算胜者，得算多也，未战而庙算不胜者，得算少也。多算胜，少算不胜，而况于无算乎！” —— 《孙子兵法》

泰勒公式的提醒：本末 / 主次之分

公式直接展现了分析问题的步骤：

现状 f(x0)→主因 f′(x0)→次因 f′′(x0)现状\ f(x_0) \to 主因\ f'(x_0) \to 次因\ f''(x_0)

预测的第一要务是要分清”本末”：现状为本，变化为末；引起变化的原因很多，也要先分”主次”。

“求之其本，经旬必得；求之其末，劳而无功。” —— 《吕氏春秋》

积分为”果”：是”因”的降维投影

不定积分：求导的逆过程

函数 F(x)F(x) 的导函数为 F′(x)=f(x)F'(x) = f(x)，则：f(x)f(x) 是 F(x)F(x) 的导函数；F(x)F(x) 是 f(x)f(x) 的原函数。

注意，F(x)+CF(x) + C（常数）的导数也是 f(x)f(x)，所以 f(x)f(x) 有一族原函数——F(x)+CF(x) + C：

∫f(x) dx=F(x)+C\int f(x)\, dx = F(x) + C

计算的话，有”换元积分法”和”分部积分法”等方法，MATLAB 只需一句话：

F = int(fun,x)      % 求函数 fun 关于 x 的不定积分

相同原因导致不同结果

一个导函数对应一簇原函数，这是因为现状（C）不同。这种关系类似于”投影”。

下面是一点个人理解：低维世界的原函数是高维世界的导函数的投影。原因在高维，结果在低维。

比如小车的速度 vv，相对于位移 ss 是一个高维世界的信息，因为它：决定了低维信息位移 ss 的变化；“不直观”，如果不投影到低维的位移信息，我们甚至不易理解；表达简单，“高维的表达反而简单”。

这提示我们建立【升维思维】，可以解决许多实际问题。

定积分：有限范围内的求和

如何求一个曲线 f(x)f(x) 包围的面积？分割无限小，再加起来，就是”定积分”。定积分求的是”曲线下面积”。 积分就是求和，积分号就是一个拉长的 S（sum）。

定积分：原因历经时间产生的作用

定积分是在计算”影响”：定积分是”原因” f(x)f(x) 经过一段过程（从 aa 到 bb）所造成的结果改变（影响）。

定积分的 MATLAB 求解

F = int(fun,x,a,b)      % 求函数 fun 关于 x 的从 a 到 b 的定积分

如果是无穷积分（即 aa 或 bb 中至少一个是无穷量的积分，书本上称广义积分或反常积分），直接把 aa 或 bb 换成 inf 即可。

傅里叶展开：频域下的谐波仿真系统

正弦波函数与余弦波函数，统一称为谐波函数。明明就是同一个函数，只不过”相位”不同而已。

“谐，和也。” —— 《尔雅》

谐波：自然之道

世界由波组成：声波、光波、电磁波、地震波、应力波、引力波…… 而谐波是所有波中最”和谐”的，它有一个重大特性：谐波的导函数还是谐波，谐波的原函数还是谐波！

比如 sin⁡′(x)=cos⁡(x)=sin⁡(x+π/2)\sin'(x) = \cos(x) = \sin(x + \pi/2)，意思是，正弦的导函数还是正弦，只不过导函数要早了 π/2\pi/2（1/4 个周期）。

谐波：命运启迪

“祸兮福之所倚，福兮祸之所伏。” —— 《道德经》

人在逆境中为什么能坚持住？就是因为他看到了命运的周期。物极必反，否极泰来，反者道之动。

傅里叶分解：任意波都由谐波组成

“波”的本质即是”周期函数”，周期的倒数即为频率。任意一种波，是否能分解成不同频率的谐波的叠加呢？

f(x)=∑n=0∞(ancos⁡nx+bnsin⁡nx)f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)

an=1π∫−ππf(x)cos⁡nx dxbn=1π∫−ππf(x)sin⁡nx dxa_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx \, dx \qquad b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin nx \, dx

傅里叶分解：频域上的谐波叠加仿真系统

比如方波：叠加项越多，越接近原始方波。这跟泰勒展开是一致的，越到后面的项，起作用就越小。最右边那一列叫”频谱”，把时域的信息变成频域信息，图中表示了每一谐波项的频率（横轴）和幅值（纵轴）。

傅里叶展开，是通过不同频率谐波叠加的方式，对任意周期函数进行仿真的系统。

把波（振动）向频域分解后的应用

  • 例 1：一台机器发生了不好的振动，把振动信号傅里叶分解出来，找到出问题的频率，再查哪个振动源是这个频率，就找到问题所在。
  • 例 2：有限元可以计算零件的各阶模态的频率振型。
  • 例 3：一个低频信号掺入了一些高频噪音，可以采用傅里叶分解，分解后直接将高频的部分舍去，这叫低通滤波。

傅里叶展开的 MATLAB 源码

MATLAB 没有傅里叶展开的直接函数，但可以依照公式写一个：

[A,B,F] = fseries(f,x,p,a,b)        % 调用格式
% 以下为函数体
function [A,B,F] = fseries(f,x,p,a,b)
if nargin==3, a=-pi; b=pi; end
L=(b-a)/2;
if a+b, f=subs(f,x,x+L+a); end
A=int(f,x,-L,L)/L; B=[]; F=A/2;
for n=1:p
  an=int(f*cos(n*pi*x/L),x,-L,L)/L;
  bn=int(f*sin(n*pi*x/L),x,-L,L)/L;
  A=[A,an]; B=[B,bn];
  F=F+an*cos(n*pi*x/L)+bn*sin(n*pi*x/L);
end
if a+b, F=subs(F,x,x-L-a); end

两种仿真系统：泰勒与傅里叶

两者都是仿真系统，都是项数越多误差越小，但也有区别：

  • 泰勒——分析运动的因果：着眼于从一点 x0x_0 展开，离该点越远误差越大，用多项式揭示运动的量化规律；
  • 傅里叶——分析频率的构成：着眼于全局周期性，从频域的角度找到原函数的高维特征。

微分方程就是因果关系

微分方程（Differential equation，DE）表示的是原函数（果）与导函数（因）之间的关系。

比如 y′=1y' = 1，就是最简单的微分方程，是一阶微分方程（最高阶导数的阶数）。解是 y=x+Cy = x + C。如果再加一个初始条件 y(0)=0y(0) = 0，这样解就只能是 y=xy = x 了。

微分方程：现代科学的基石

大致可以这么说，一个学科是不是科学，就是看有没有微分方程。因为研究一个量的导数的规律，才有可能从根本上理解这个量的规律。微分方程展示的就是原函数（果）与导函数（因）之间的关系。

微分方程解析解

微分方程不太好解，教材上一般也就列举了几种很特殊的解法，真到了使用的时候往往不在这几种范围之内。

“君子生非异也，善假于物也。” —— 《劝学》

MATLAB 求解微分方程，一般用 dsolve 函数就能搞定。

例 1：

syms y(t) a              % 符号
eqn = diff(y,t) == a*y   % 函数
cond = y(0) == 5;        % 条件
ySol(t) = dsolve(eqn,cond) % 解

例 2：

syms y(t) a
eqn = diff(y,t,2) == a*y
ySol(t) = dsolve(eqn)

微分方程数值解

许多微分方程根本求不出解析解，只能求出数值解。所谓数值解，就是虽然求不出函数的表达式，但能知道函数在各处的值，这个值不是绝对准确，但在一定的精度范围内。

MATLAB 中最常用的解常微分方程（ODE）的函数为 ode45（四阶五级变步长算法）。例，解方程 y′=2ty' = 2t：

tspan = [0 5];          % 求解范围
y0 = 0;                 % 初值条件
[t,y] = ode45(@(t,y) 2*t, tspan, y0);   % 方程以函数句柄形式定义
plot(t,y,'-o')

没有表达式，只有由点组成的”数值解”。如果非得写成表达式的形式，拟合回去即可。

微分方程造就了有限元法

大名鼎鼎的”有限元法”（FEM，Finite Element Method），其实只是一种求解微分方程的数值解法。 所谓”仿真”，就是对模型的计算。FEM 的元模型，就是微分方程，也就是事物之间的因果关系。

思想总结

  • “无穷”是微积分的基础核心。
  • “导数”是函数的原因，函数是”导数”的结果。
  • 泰勒展开：多项式仿真系统，提醒我们本末 / 主次之分。
  • 傅里叶展开：频域下的谐波仿真系统，提醒我们在频域中寻找本质特征。
  • 微分方程就是因果关系，是现代科学的基础核心，也造就了有限元法。

“你最好学学微积分，它是上帝的语言。” —— 费曼