多元微积分

从一到多

大凡做研究，往往都是从一到多的过程，先理解最简单的“一”，再扩展到“二”，再把二的规律试试看用在“三”上行不行，如果没问题，那就直接总结得到了“n”的规律了。

道生一，一生二，二生三，三生万物。 ——《道德经》

微积分也不例外，当我们研究完最简单的“一元函数”，就不禁要想，“多元函数”的微积分是什么样子的呢？

空间中的曲面——二元函数 z（x,y）

偏导数

前面咱们讲过了导数，知道了导数的几何意义就是斜率。

理解微积分真谛：导数与微分

咱们还用 MATLAB 计算导数：

y=diff(fun,x)

当时咱们说，要写上 x 表示是对 x 求导，而函数中如果有其它的字母就都当成是常数，不管它们。

其实，这就是多元函数中的——

偏导数

重复一下，对 x 的偏导数，就是把除 x 外的其它变量都当成常量，再求导。

由此也能猜出来，在 MATLAB 中，求偏导还是用这个 diff 函数。

偏导数几何解释

我用 Solidworks（一款三维建模软件）画了一个八分之一球，表示一个二元函数——

z = z(x,y)

想求： z 对 x 的偏导函数。

这时，可以认为 y 是一个常量，那么就沿着 “y = 任意值”切一刀，**切出了一条美妙的曲线，**函数变成了 z=z(x)，就变成学过的曲线求导了。

所以，为什么叫“偏”导数，就是说，**求导数的时候“偏心眼”**了，只觉得一个变量是“亲变量”，而其它的变量看都不看，直接当常量抛弃了。

z 对 x 的偏导 与 z 对 y 的偏导 分别表示为：

全微分

微积分的核心思想，就是先求一个变量的微分，再对其进行积分，前面咱们学习了一元函数的导数，后来又学习了积分，综合学过的理解，我们总结一下微分的意义：

dy = y’ dx

y 的变化=y 受 x 的影响 * x 的变化

那么，如何对一个多元函数进行微分呢？

比如，z = z(x,y)，那么 dz 如何表示呢？

其实非常简单，跟一元函数完全一样，大概意思是：

z 的变化 = z 受 x 的影响x 的变化 + z 受 y 的影响y 的变化

就是这么简单，别管你是几元函数，分别把每一元对 z 产生的影响效果相加，就行了！

表示为：

SO EASY!

画成几何图就是这样：

全微分的几何理解

几何意义是：画出一个平面四边形，来近似代替原来的曲面，这个平面四边形最远点抬高的距离就是 dz，而这个距离恰好等于中间两点抬高距离的和。

梯度

多元函数微分学中，除了偏导数和全微分，第三重要的概念，就是“梯度”了。

梯度——最速下降方向

其实，上面我们讲过的偏导数，仅仅只是两个方向的

斜率，即 x 方向和 y 方向； 对于一个曲面，其实可以从许多方向“切一刀”都会形成一个曲线及其导数，其中，最大的导数的那一刀的方向，称为：

梯度方向

而由此形成的最大的导数，称为：

梯度导数

实际上，我们一般会把两者（一个方向，一个数量）结合在一起，表示成一个向量，这个向量称为：

梯度

好，严谨一点：多元函数 u(P) 在 P 点的梯度是个向量，其方向为 u 的最大变化率的方向，其模等于这个变化率的值。

记为：grad u

其实，说起“梯度”这个词，咱们很容易想到——

梯田

梯田——梯度的最好比喻

其实，梯田就是一个多元函数曲面了，一圈一圈的就是“等高线”，那么，什么方向是从农民兄弟从梯田上面下来的最短路径呢？

当然是垂直于等高线方向了，这就是梯度方向。

多元函数微分学的核心概念就只有它们三个：

偏导数 全微分 梯度

微积分核心思想

本节是专栏最后一课，让我们再来回顾总结一下微积分核心思想：

（划重点了）

“整体分解为局部-》局部可以线性化分析-》近似过程的极致就是精确”。

微积分四步：

分割 作积 求和 极限

多元函数定积分

从一到多，有了一元函数的定积分，自然有多元函数的定积分，只不过咱们好像没怎么听过这个词“多元函数定积分”，是因为数学课本给起了一些奇怪的名字：

黎曼积分 第二型曲线积分 第二型曲面积分

说实话，如果不是经常用到这些概念的专业人士，谁能看到这些名字就知道什么意思呢。

其实，“多元函数定积分”根据这个“多元函数”的形式，就分为两类：

数量场定积分 & 向量场定积分

理解“场”的概念非常重要

分别解释一下：

**数量场定积分：**数量场，顾名思义，在场中每一点都对应一个数量，这类积分也就是所谓的“黎曼积分”。

**向量场定积分：**向量场，就是在场中每一点都对应一个向量，积分时要考虑方向的作用，这就是所谓的“第二型曲线积分 第二型曲面积分”，有方向的参与就比较复杂，后面我们再展开。

这样，是不是清晰多了？

数量场定积分——二重积分

直接上例子，我们前面学过一元函数的定积分，可以计算一个一元函数 y=f(x)所代表的曲线下方的面积，那么二元函数 z=f(x,y) 的下方的体积也是类似的，表示为：

其中，σ 表示这个体积的“底面”，也就是 x y 的积分范围。

两个积分号合在一起写，表示这是一个对两个变量的积分，所以也可以写成：

所以也叫做“二重积分”。

数量场定积分——三重积分

思考一个问题，有一个物体，如果它的密度均匀，那么

质量=密度 x 体积

但如果它的密度不均匀呢？比如密度分布为 μ(x,y,z)，这时质量可以表示为：

显然，三个积分号合在一起，表示“三重积分”。

小结一下

“二重积分”的被积区域是是二维平面；

“三重积分”的被积区域是是三维立体。

所以上面这两种积分区域，可以叫做等维积分区域。

还有另一种数量场积分区域——“低维积分区域”：

弧上积分 & 面上积分

它们两者的积分的区域分别是二维或三维的弧线和三维的曲面。

数量场定积分——弧上积分

举例，一根这对密度的绳子，密度为 μ(l) ,其中 l 代表弧长，则绳子质量表示为：

这里只用了一个积分号，其实是在告诉我们，弧上积分是可以化为一元函数积分的，这得益于它的积分区域是一个弧，虽然可以用二维空间甚至三维空间去表示，但弧线终归是一个“一维元素”——“线”。

这类积分在课本上叫做：“对弧长的曲线积分”或“第一型曲线积分”。

数量场定积分——面上积分

思考，一个曲面薄板 S 上分布着不均匀的电荷，电荷密度为 μ(P)，则 S 上的总电量表示为：

这里只用了两个积分号，其实是在告诉我们，曲面上积分可以化为二重积分，这得益于它的积分区域是一个曲面，虽然可以用三维空间去表示一个曲面，但曲面终归是一个“二维元素”——“面”。

这类积分在课本上叫做：“对面积的曲面积分”或“第一型曲面积分”。

向量场定积分-第二型曲线积分

举个例子就很容易理解什么是向量场积分：

比如我用向前的 F 大小的力，拉着箱子向前走了长度 l 的直线距离，那么我做的功能为：

W=Fl

但是情况有可能会更复杂，我使用的力是方向与大小都在变化的向量 F，而且箱子的位移也可以是曲线 l，这时就要用到“第二型曲线积分”，表示为：

注意到，这里的 F 和 r 都是加粗的向量。

也许你会想，如果我把每时每刻的力都向位移投影，这不就又变成了数量积分了么？

是的！我们可以把第二型曲线积分看成一种特殊的第一型曲线积分，它的被积函数与积分曲线的方向有关。

向量场定积分-第二型曲面积分

试问这样一个问题，在一个流体场中，流速为一个向量场 v，求单位时间通过 一个曲面片 G 的流体体积，表示为：

向量场定积分-环量与通量

上面我们的积分区域是曲线与曲面，其实，当曲线首尾相接形成一个闭环，当曲面首尾相接形成一个球面时，就可以定义两个好玩的量——环量与通量。

初学时候，很不好理解，其实说起来没那么复杂：

环量，就是上面的第二型曲线积分，只不过呢，积分区域是一个首尾相接形成一个闭环，所以在表达上多画一个圈而已：

通量，就是上面的第二型曲面积分，只不过呢，积分区域是一个曲面首尾相接形成的闭合球面，所以在表达上也是多画一个圈而已：

没什么新鲜的。

“太阳下面无新事。” ——黑格尔

上节课我们讲过方向导数有一个度量叫做梯度。

其实，对应于环量与通量也有相应的度量，分别叫做

旋度 & 散度。

旋度和散度是流体力学中非常常用的概念

数学里，“度”代表度量，一般都是一个极值量。

“空间”一词耳熟能详，“场”的概念时时可见。可是，我们真的能理解它们的内涵吗？ 让我们从数学分析的角度，借助梯度、散度、旋度的概念，来理解空间、理解场，从而更深一步地理解这个世界。

“空间”与“时间”

“空间”这个词，第一感觉，就是与时间对应的那个我们生活着的地方。空间与时间一同组成了宇宙。

世，为长久的时间；界，为广阔的空间。“世界”一词，即包含了时间与空间。

我们通常认为，我们生活的世界是“三维的空间”（x,y,z）加“一维的时间”（t），有时统称为“四维时空”。在四维时空中的物理量可以表示成函数**u(x,y,z,t)**的形式，从这种表达中并没有发现时间 t 有什么特殊性，因此也有一种角度可以将时间也理解为空间中的一个维度，所以也有直接称为“四维空间”的。

在经典物理中，我们一般都以三维空间加一维时间为理论的基础。比如普通力学、传热学、声学、光学、电磁学等，都在四维时空中有非常完备的理论，构建起了人类科技的大厦。

关于“时间究竟是什么”这个话题，就比较有趣了，科技千里眼会在其它的文章中和大家一同探讨。

数学中的“空间”

除了通常意义上的空间外，咱们向上抽象一层，就进入了数学的世界。

为什么在数学书中会经常出现“空间”一词呢？

其实，在数学中，“空间”就代表一类对象的集合。比如，所有实数的集合，就是“实数空间”；所有复数的集合，就是“复数空间”。当我们要研究某个问题时，就先要规定好，这个问题中的研究对象都属于实数还是都属于复数，所以，必须提前规定一个空间。

换言之，所有数学问题中的模型，都必须是某个空间中的对象；这时，其它空间中的一切都与我无关了。

如果有编程基础的同学，可以将空间理解为一个“类”；把空间中的一个个事物，理解为“对象”；把从对象向对象的变换，理解为“方法”。

向量空间 =  线性空间

在数学中，有一类非常神奇又极有用的空间，想必你也听说过，那就是“线性空间”，其实也就是“向量空间”。

比如，[1 0 -1]是一个三维向量，那么它与其它所有三维的向量在一起，就组成了“三维向量空间”。换言之，这个空间中每一个对象都是一个三元素的向量，同时可以用**“点”的形式**画在 x-y-z 坐标系中。

所以，数轴其实就是一个“一维向量空间”，当然了，也就是一个“实数标量空间”；平面，就是一个“二维向量空间”，在平面上，所有点都对应一组[x,y]；立体空间即“三维空间”；同理，当向量的维度多达4 维、5 维时，当然也对应着“四维空间”、“五维空间”。

4 维空间已经不太容易直观地表达出来了

物理上的多维空间的概念，是非常难以理解的，超弦理论认为，世界是十维时空，像这类前沿的物理学问题，不在本专栏的讨论范围内，有机会再与大家探讨。

线性空间的现实应用

其实，线性空间（向量空间）在现实生活中存在大量的应用；只要我们理解空间的概念，也是非常容易应用的。

想想看，只要是研究的对象可以表示为**“向量”（一串数字）**的形式，就都属于线性空间的范畴。

比如，我们评价篮球运动员时，会列出一组数字：

[身高，体重，三分球命中率，出场率]

这就是一组典型的“四维向量”，只不过平时我们不用这样数学的语言罢了。

数字表格，就是线性空间

所以，凡是我们能列出的数字化的表格的，都是线性空间中的一个个“点”，每一列都是一个对象，每一行都是一个维度。

因此，数学中用来分析向量与空间的一切方法，都有可能成为你分析问题的神器。

场——熟悉又陌生的概念

“气场”一词，我们总能听到；“引力场”，也是耳熟能详的物理词汇。然而，“场”究竟是什么呢？

其实非常简单而清晰，场就是在空间中分布的量。比如，在三维空间中，关于坐标 x-y-z 分布着一个量 u，这个 u(x,y,z)就可以称为“u 场”。如果量是物理量，当然就可以称为物理场，比如温度场；如果这个量是其它的量，比如上面说的运动员向量，就是“运动员场”。

所以说，场只是我们人类为了理解世界而抽象出来的一个概念而已。

实际上，人类所能认知的一切都是抽象出来的概念，就连“物质”也是人类抽象出来的概念。

原子由原子核与电子组成，电子本身只是“一个点”，没有半径，它围绕着原子核转动。原子核直径是原子的十万分之一左右，它由质子与中子组成，而质子与中子都是由 3 个夸克组成，而这个夸克也只是一个点而已，没有直径，不是实体！

看到这里，我们才真正第一次明白了，什么叫“万物皆空”，因为原子本身只是由一些“点”组成的，原子是“空”的，万物也是“空”的！

“色即是空，空即是色。”——《心经》

所以说，场也是一样，只是抽象的概念而已。只不过这个概念非常重要，围绕着场而展开的数学分析方法也非常完善，如果我们能够掌握，必将发挥出重大的威力。

标量场与向量场

本专栏介绍最常用的两类场——“标量场”与“向量场”。

其实从上面的叙述中，我们已经理解到了，当场中的“量”是标量时，就是标量场，比如在三维空间中的温度分布，称为温度场 T(x,y,z)；当场中的“量”为向量时，就是向量场，比如三维空间中流体速度的分布，称为速度场v(x,y,z)。（粗体字表示向量）

温度场：用颜色来表示温度的高低

换言之，在三维空间 x-y-z 中，每个点对应一个标量，则为标量场；而每个点对应一个向量，则为向量场。

这里我们用到了“对应”一词，在数学中，准确地说，叫做“映射”。**标量场是从向量映射到标量，向量场是从向量映射到向量。**每句话中前面的向量，就是指空间中的点。

即，场是从向量空间到标量或向量空间的一种映射，这种映射被表示成诸如 T(x,y,z)或v(x,y,z)的形式。

向量分析学

这里，我们可以把点(x,y,z)代换为向量p，即 point，从而上述表达式变成 T(p)或v(p)，这样看起来，是不是清晰一些啦？与我们熟悉的“函数”非常像，对吧？

既然是函数，那么，我们是不是可以用研究函数的微积分方法，来研究向量的函数呢？当然。这就是数学分析学的一个重要分支，称为“向量分析学”。它是描述经典物理学领域最基本的数学工具，如今现代物理学中所用的“场论”是笛卡儿微分学与张量分析为基础的，而其特殊情况，就是咱们要讲的这个“向量分析”啦。

我们需要这样一种分析学，它具有几何特征，并且像代数学表示量那样直接地描述物理现象 。——莱布尼茨

本专栏，其实就是用一种容易理解的方式，结合直观的数学工具，面向物理学的现象，辅以哲学的独特视角，与大家一起，破译向量分析学，理解空间与场，掌握梯度、散度、旋度的概念，进而更深刻地理解这个大千世界。

今天我们来讲——“梯度”。在正式进入梯度之前，咱们小小地复习一下关于微积分的意义理解。

导数是事物变化的原因

在以前的微积分专栏中，咱们详细解析过导数与原函数之间的关系，即“导数代表变化的原因”，“原函数代表变化的结果”，比如速度 v 与位移 s 之间的关系——

v=s’，v 是 s 的原因，也就是说，速度是导致位移变化的原因，而位移则是速度产生的结果。好理解吧 ~

那么，“积分”是什么含义呢？积分就是用原因的积累来求结果，当然了，一定别忘了要从“初始状态”开始计算——

所以，导数就是变化率，就是“因”；原函数是导数的积分，是变化率的累积，代表事物变化的结果。

所以，我们知道了，为什么自然科学统统都以“微分方程”为基础，因为微分方程就是表示出了导数与原函数的关系，这就表征了“因果关系”呀 ~

对微积分的本质理解感兴趣的同学，可以移步科技千里眼的微积分专栏。

梯度就是“三维导数”

梯度（gradient）的数学定义是这样的：

解释一下，对于一个标量场 u(x,y,z)，在它的每一点上，分别对 x/y/z 求偏导，组成的向量，就是梯度，写成  grad u。（图中的倒三角符号∇咱们后面再说）

从这个定义，我们能看出来，在每个点(x,y,z)上，都有一个标量值 u，它对应一个向量grad u，这个向量就是该点处的“梯度向量”，而所有点的梯度组合而成的，就形成了一个“梯度场”，这个梯度场是一个向量场。

但是，从公式中看不出什么来，偏导数不直观，那么，咱们把空间从三维降到二维再降到一维，看一下——

发现什么了？一维梯度就是咱们最熟悉的导数呀 ~

那么，从一维到三维反推可知，三维梯度就是三维空间的导数！

换言之，梯度场就是原标量函数场的“原因”。

这样，咱们一下就理解了梯度究竟是什么了。

梯度向量的方向

但是，当梯度从一维升维到二维、三维后，从标量变成了向量，这又如何理解呢？

其实，在一维空间中，梯度（导数）也是有方向的，这就是数轴的方向，只不过在一维空间中，方向的概念已经坍塌，因而不提罢了。

在二维、三维空间中，必然要指明“量的作用方向”，这就是梯度的方向。

咱们可以用“梯田”的形象来理解一下。这里要提醒大家的是，如果说梯田的高度值是标量函数的话，其实梯田的高度值是一个二维标量场，我们看到的高度维度其实是标量的值。显然，假设我们站在某一个位置上，走同样的距离，最快爬高的方向，就是梯度的方向了。

梯田

梯田其实也是最形象地展示“等高线”的例子了，相当于把一座山上，那些高度相同的点连成了线。

画一个梯度场看看吧 ~

咱们在 MATLAB 中写一个 u(x,y)函数作为一个二维的标量场——

在 MATLAB 中，几句代码就能把标量场、梯度场求出来并作图——

x = -2:0.2:2; y = x';
u = x .* exp(-x.^2 - y.^2);
[px,py] = gradient(u);
contour(x,y,u) %  等值线
hold on
quiver(x,y,px,py) %  向量图

作图如下：

我们看到，等高线显示这个标量场是一个“凹谷”（左）和一个“山峰”（右），用暖色表示大值，用冷色表示小值；梯度场（就是那些箭头）就表示每个位置的最大导数及方向，比如峰与谷之间的那些箭头最长，表明这里是梯度值最大（变化率）的区域。

使用 MATLAB 等数学工具，不仅可以快速计算与作图，而且在编程过程中利于我们理解数学概念与原理，感兴趣的同学也可移步科技千里眼 MATLAB 专栏，或搜索科技千里眼出版图书《MATLAB 程序设计——重新定义科学计算工具学习方法》。

倒三角算子 -  哈密顿算子

填一个坑，上面的公式中提到的倒三角算子  ∇，是非常重要而优美的一个算子，官方的名字叫做“哈密顿算子”，其实有个更直接的名称，叫做“向量微分算子”，读做 Nabla（音纳博拉），比如  ∇u，就读作 Nabla u。定义为：

其实就是带着方向的导数运算，所以说名称“向量微分算子”还挺直接的。

咱们在二维空间中画一画就更形象了——

看，∇u 就是空间导数，所以倒三角符号∇与微分符号 d 有些相似。

其实还有另一种表示梯度的方式也很好——

这种方式就表明，u 的梯度就是在 r 方向上的偏导数，那么，r 方向是什么方向呢，其实就还是上面所说的变化率最大的那个方向了。

重力势能与重力场

下面咱们用熟悉的重力来进一步解释梯度（多维导数）与其原函数的关系。

比如我们在地面上，以水平面为原点，竖直向上建立坐标系 h，越高处重力势能越大，可以表示为 U=mgh，这就是一个标量场；咱们给 U 求导，则 U’=mg。这里要注意，我们的坐标系是向上的，也就是说 U’=mg 的方向是向上的，这与重力 G 的方向恰好差一个负号——

此图中的 g 为标量

也就是说，势能的梯度与力差一个负号。这也容易理解，我们在一个山坡上，由静止放开一个球，球一定会向下坡运动，这就是力的方向，而高度场的梯度却是指向上坡的。

换言之，力是从高势指向低势，梯度是从低势指向高势。（势场，有时候也常常称为“势函数”）

所以，标量势场的梯度是一个向量力场。（这里的力是广义上的类似于力的一类向量）

从图中，我们看到一个新的信息，从导数与原函数的因果关系，我们可以推论出，力是势的原因，势是力的结果。也就是说，重力造成了重力势能，引力造成了引力势能，等等。

其实，能量只是人类的一种想象中的概念，就像场一样，是为了理解这个世界而创造的。

梯度场=有势场=无旋场

“梯度场”与“有势场”是等价概念，也可以说，梯度场一定有势。这个“势”就是上面讲的势场/势函数。

这也很好理解，因为梯度场  grad U = - F，标量场 U 与向量场F，一定是同时存在的。

那么，如果我们已知了 U 的梯度场为F，那么能否反求出 U 呢？

其实，咱们只要按照上面讲过的与标量微积分的对应关系，就应该可以想到求解方法——

也就是说，通过梯度F反求其势 U，就是一个向量的积分过程，当然了，同标量微积分一样，得到的结果是一组势函数，它们之间相差一个常数 C。

其实，如果说我们以前学习的“一元函数微积分”可以称为“标量函数微积分”的话，那么，现在给大家介绍的，就属于“多元函数微积分”，也可以称为“向量函数微积分”，也称为“向量分析”。

那么，为什么说“梯度场”又等价与“无旋场”呢？

这里，“旋”是指旋度，是本专栏后面要介绍的内容，这里给大家大致画出来一看便知——

左侧为梯度场，右侧为旋度场。每个箭头都是从低势指向高势，如果能通过这些箭头求解出一个势场，则这个向量场就是有势场。显示，右侧的有旋场，产生了 a>b>c>d>a 的矛盾，是无法求解出 U 的，因此，有旋则无势。

所以说，梯度场有势而无旋。

在本专栏的上一篇文章中，我们讲解了“梯度”，知道了其实梯度就是多维空间中标量的导数，而梯度的逆运算就是“求势”，所以说，“梯度场”与“有势场”是等价的。

那么，既然多维空间中的标量 U 可以求导数grad U（∇U），并且可以借用我们对于导数和积分的因果意义来理解——

导数表示原因，积分表示结果；梯是势的原因，势是梯的结果。（详见上节专栏）

我们不禁要问，多维空间中的向量是否也可以求导数呢？

可以！

我们在多维空间中，定义的“向量的全方向导数”，就称为“散度”——

散度（divergence）表示为  div V，注意到 2 点：

1. 字母V用了粗体字，因为V表示向量；
2. 符号 div 用了细体字，因为散度是一个标量，你看上面的公式是几个数求和。

如何理解散度的定义式？

首先，V是一个向量——

而我们上节课中讲过的 Nabla 算子∇，也可以表示为一个向量的形式——

那么，散度可以表示为两个向量的“内积”——

div V = ∇ · V

（偶尔能把公式打出来还挺不习惯的，还是写一下）

所以，散度是一个内积。

“内积”到底是什么？

两个向量相乘得到一个标量，我们把这样一种乘法定义为内积——

注意到，我这里在最后还写出了一种用“矩阵乘法”形式来表示的“向量内积”。它们显然是相等的，因为咱们讲过矩阵乘法的记忆法则——将乘号左边的矩阵下沉，然后与右侧连线对应位置相乘再相加——

这是记忆矩阵乘法的一种最速方法，如图——

感兴趣的同学可参见——

理解线性代数核心算法：矩阵乘法就是“方法乘以对象”

正如上一行文章的标题所说，乘法就是将方法施加在对象上，在内积公式中，a与b是完全对称的，因此我们可以说内积a·b的意义是——

对a进行b变换 OR  对b进行a变换

也就是说，向量既可以表示一种对象，也可以表示一种方法（变换）。

究竟是什么变换？

内积变换 =  投影 +  缩放

因为，我们知道——

如果我们把其中一个向量特殊化，比如变为一个单位向量e，那么a与这个单位向量的内积，就变成了只有投影没有缩放了——

这里思考一个概念：“投影”究竟是什么？

向量 a 对向量 e 的投影，其实就是表示为 a 的对象，在表示为 e 的坐标轴上的值。简言之，投影就是坐标。a 对 e 的投影，就是把 e 当作坐标轴后，a 的这个坐标轴上的表示值。

所以，内积是什么？

内积是投影坐标。

散度是一个坐标轴上的投影坐标

这里稍微回顾一下上面的内容：

1. 散度 div 是内积的形式：∇·V
2. 与 e 的内积表示以 e 为坐标轴的投影坐标

此时我们不难得出一个推论，散度应该是某个坐标轴上的坐标！

为什么说是“应该”呢？因为毕竟 Nabla 算子（∇）只是表示成向量的形式，它本身严格地说并不是一个线性空间中的向量。

但是，我们完全可以去这样理解——∇与V的内积 ∇·V，即为“向量V向坐标轴∇的投影坐标”。

既然是坐标轴上的坐标，那么散度就肯定是标量了。

这个 Nabla 坐标轴究竟是什么呢？

Nabla 坐标轴：全方向导数

全方向，意思是说所有方向上，如果我们是在二维空间（平面）上来理解，那就是在一个圆周上，如果所有位置的向量都是向“外”发射，则这个圆内部的向量场有正的导数，即散度为正。如果我们想准确地求某一个点的散度，其实不用找到圆周上所有的向量，而只需要找到两个正交方向，比如画一个正方形——

注意到，这两个正交方向可以任意，当方形足够小时，这 4 个向量就有足够的代表性。

进一步，我们按 xy 正方向将 4 个箭头画出，显然要想求向外的导数，那么需要分方向求差，再相加——

所以，散度就是某点附近微小区域内，向量向外的发散程度。

即，散度是向量在全方向导数轴上的投影，换言之，散度是向量的全方向导数。

散度场——重要的信息视角

向量场中每一个点位都可以求出一个散度值，放在一起就成为一个“散度场”，因为散度场是标量场，所以很容易想到用“颜色”来表示大小——

从此图中可以看出，箭头都远离的点位，散度值为正，图中颜色最浅的位置就是散度最大的位置。箭头都逼近的点位，散度值为负。

从这张图，我们明显能看得出来，这个场中有两个特殊的点位——

一处好像是在向外发射，一处好像是在向内吸收。

这两处，我们称为“源”，表示向量无中生有的源泉。

散度，是“源”的强度

在向量场中，所有散度不为零的点位，均为“源”。散度为正，则为正源；散度为负，则为负源。

习惯上我们常常用彩色表示散度，一般暖色（红）表示正，冷色（蓝）表示负，这样我们就能明显地看出场中各处散度的正负，也就是源的强度了——

如果，向量表示流体的流速的话，那么某处向量的散度为正就表示该处的流体分子都在向外流动，因而密度会降低；反之，如果散度为负，则表示分子都在聚焦，则密度升高。

如果整个流场中所有的点位散度都为 0，则没有正源也没有负源，这时称为“无源场”，那么所有位置的密度都是均一不变的，称为“不可压缩流动”。

向量求散度即为源，表示为公式为：div V = ρ。那么，如何已知散度（源）来反求向量呢？

其实，从上一节的梯度与势的关系我们不难想到，一个散度场可以对应无数个源场，这些源场之间差一个什么呢？差一个旋度场。关于旋度场，咱们下节展开讲解。

散度的另一种 Nabla 算子表示

其实，散度用 Nabla 算子（∇）有两种表示方法，写出来是这样的——

div V = ∇·V

如果把点乘号去掉，如果不是写错了的话，∇V表示“并矢”或“张量矢”。

这样我们在看一些文献时，就不会被搞晕了。

前两篇专栏文章分别解析了“梯度”与“散度”，我们理解了，梯度是标量场的空间导数，散度是向量场全方向导数。显然，今天要讲“旋度”了，旋度也是导数吗？

怪异的定义式

旋度（curl），也是作用于向量的一种算法，定义为：

这样的形式看起来有点复杂，可以写为：

这样，旋度被表示为两种形式：

1. Nabla 算子与向量的叉乘（外积）；
2. 一个怪异的行列式。

这种形式，看起来怪异，但是理解以后，就会发现它的美妙之处。

快速记忆旋度公式

首先介绍一种快速记忆三阶行列式的计算方法：如图，将第二行与三行向两侧周期性扩展（蓝字），然后，按口诀“捺减撇”（紫色捺线上的乘积减去绿色撇线上的乘积），即可快速记住行列式计算方法——

感兴趣可参见“线性代数专栏”

这样，我们很容易知道，当第一行换为ijk时，就很自然写出外积的形式了——

这其中体现了一种“三元对称”的思路，x 后面是 y，y 后面是 z，而 z 后面又是 x——

如果降维到二维，则外积为：

表示，在 xy 平面内的两个向量相乘，外积仍然是向量并指向 z 轴方向。

外积：向量在法向轴上的投影

上节课我们知道了，e与a的内积表示a向e坐标轴上投影的坐标，即内积表示轴上投影。那么，外积是什么涵义呢？

我们知道，向量a与向量b的外积，可以写成夹角正弦的形式——

像上一课一样，咱们取其中一个向量为单位向量 e，这样能表示得更本质一些——

画成图像——

我们发现，e与a的外积，其实是a向着一个与e垂直的方向的投影，当然，最终这个投影的值要表示在另一个向量k的方向上，这个k同时与a和e垂直。

想说的就是一句话，外积表示在垂直方向上的投影。

旋度就是法向导数——“角速度 ×2”

好了，铺垫到这里，我们可以猜想到这样的推论：

向量V与 Nabla 算子（∇）的外积，也即旋度，表示向量 V 在其法向上的导数。

其实，“法向导数”的说法显然是不正宗的，毕竟从来没有数学教材这样去讲过。为什么我要这样讲呢？

因为，旋度就是角速度的 2 倍——（改用位移的字母 S，是为了更方便理解）

也就是说，旋度与角速度代表着场的同一性质，而角速度是我们在理论力学中就熟悉的概念，其方向是向量场的“法向”。

虽然不太严谨，但是我们体会到了旋度的真切的意义，那就是角速度。

形象一点，一个场中放几个小风车，旋转得快的旋度（角速度）就是大呀——

至于为什么会差一个 2 倍的关系，欢迎大家自己思考总结。

旋度的计算——更实际地感知

让我们用实际的计算再来感知一下旋度的意义吧。

咱们在 MATLAB 中输入代码：

[x,y] = meshgrid(-4:4,-4:4);
Fx = -y*2;
Fy = x*2;
quiver(x,y,Fx,Fy) %  生成箭头向量图

得到图像——

这是一个围绕着中心旋转的场，使用 curl()函数来求旋度与角速度——

[curlz,cav] = curl(x,y,Fx,Fy)

旋度（Z 方向）的结果为：

我们看到，整个场中所有点的旋度都是 4。有同学就会问了，场中越向边缘就越没有旋转的感觉，怎么旋度还是一样的呢？这里就要纠正一个误区了，旋度并不是看起来有旋转的感觉，别忘了，旋度就是角速度的 2 倍呀。所以，这个场可能是一个大圆盘，正在围绕着中心旋转，自然，整个圆盘上所有点的角速度及旋度都保持一致。

涡——向量场的旋度场

还是来看二维的简单情况，这时旋度可以看成是标量（因为毕竟向量的方向均指向 Z），我们可以用颜色深浅来表示旋度的大小——

这就非常形象了，场中存在一个极大值中心和一个极小值中心，类似于散度形成的源场，此处就表示为旋度形成的涡场。“旋涡”一词再形象不过了。

通过本专栏的前 4 篇文章，我们已经对空间、梯度、散度、旋度的意义有了直观的理解，今天我们把它们放到一起，从整体的概念上，来理解空间的奥秘。

总结回顾

先回顾一下梯度（grad）、散度（div）、旋度（curl）的定义与表达，它们分别可以表示为 Nabla 算子（∇）与对象的“直接作用”、“内积”、“外积”——

可能有同学注意到了，梯度（grad）、散度（div）、旋度（curl）中有的符号被加粗了，这就表示它们代表着向量，总结三者的作用性质——

grad(标量) =  向量 div(向量) =  标量 curl(向量) =  向量

画了一张小图，更清晰一些——

意义理解

回顾前面三节的思路，我们从 Nabla 算子（∇）表达法来入手，来理解梯度、散度、旋度的意义。先写一下我为大家设计的表达式：

∇U = -F ∇·V =  ρ ∇×V =  2ω

其实，这里的表达式字母是精心选择，是有意义的，比如：

• -F  为梯度场，是类力场，加了个负号后，U 就表示“势”
• ρ  为散度场，是类密度场，称为“源”
• 2ω  为旋度场，是类角速度场，称为“涡”

当然，负号与系数 2 都乘上了一个常数，更有利于对意义的理解。（具体理由见前面几篇文章）

那么，Nabla 算子（∇）与对象的“直接作用”、“内积”、“外积”是什么涵义呢？

• 直接作用——∇U

∇与对象直接作用时，∇就是一个微分符号，相当于普通微分符号 d。

所以，梯度∇U 就表示标量场 U 的“空间导数”。

• 内积作用——∇·V

线性空间中，e·a 表示向量a向e坐标轴上的投影，当把e换成∇后，由于∇是微分算子，所以∇·V表示“全方向导数”。

• 外积作用——∇×V

线性空间中，e×a 表示向量a向e的法向坐标轴上的投影，当把e换成∇后，由于∇是微分算子，所以∇×V表示“法方向导数”，也即“角速度”。

以上这三种理解，解释了为什么梯散旋会有这样的 Nabla 算子表达形式，我们也可以看出：梯散旋三者均表示某一种条件下的导数意义，这也是为什么它们都需要用微分算子的原因。

导数是什么？在微积分专栏中我们讲过，导数表示原因，积分表示结果，所以说——

梯度、散度、旋度其实就是不同视角下的“场”的“原因”。

对微积分的意义理解感兴趣的同学可参见——

理解微积分真谛：导数与微分

两个恒零式的理解

上面都是一阶微分，其实还有二阶微分。其中有两个恒为零的二阶微分——

• 梯度场的旋度为零
• 旋度场的散度为零

即：

curl(grad U) = 0

div(curl V) = 0

如何理解呢？

• 梯度场的旋度为零

换言之，梯度场无旋。因为，梯度场是类似于力场的有势场，它的势既然有高有低，那么相对的高低在整体中就不能出现“矛盾”，如下图所示，右侧的有旋场，产生了 a>b>c>d>a 的矛盾——

梯度场无旋有一个形象的理解就是，下图这种无限循环的楼梯是不可能制造出来的——

我们假设图片中的楼梯能制造出来，那么放一个小球上去，它将无限地加速移动，这不就成了永动机了？所以梯度场无旋反映的就是能量守恒的基本规律。

• 旋度场的散度为零

换言之，旋度场无源。

首先，再次深入理解一下“源”的概念。我给大家准备了一个动图，这张动图中，每个小球的运动即由向量场表示，那么，小球在中心点处不断“产生”的这个动作，就反映了中心点处有一个源。这个源就如同是从四维空间来的一样，是无中生有的。

为什么旋度场就不能“无中生有”呢？如下面这张简图所示，左侧是有源点，当区域无限小时，v1 与 v2 也会有一个差（微分），这是“源”造成的；而右侧的量是角速度 ω，当区域无限小时，ω1 与 ω2 表示这个无限小区域的角速度，那么一定是相等的，所以无源。

当我们从概念上、从直观的形象上，去理解空间、理解场，我们对梯度、散度、旋度有了自己的解读，对于势、源、涡这些词汇就有了意义感，这样我们再去学习数学公式就会有新的、更深刻的理解。